【全国百强校】广东省深圳市高级中学苏教版高中数学必修五课件:2.1 数列的概念(共29张PPT)_图文

发布于:2021-04-21 14:16:35

数列的概念
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数列的概念
有人说,大自然是懂数学的.你有观察过 吗,树木的分杈、花瓣的数量甚至植物种 子的排列……都遵循了某种数学的规律.你 能发现下面一列数的具体排列规律吗?
1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55,89,
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数列的概念
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常 在沙滩上研究数学的问题,三他角们形在数沙滩上面 画点或用小石子来表示数.比如,他们研究过 1,3,6,10,…
象1,4,9,16,…,被称为正方形数.
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数列的概念
按照一定的次序排列的一列数称为数列, 数列中的每一个数被叫做这个数列的项, 数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位 的称为这个数列的第1项, 排在第二位的被叫做数列的第二项……排在第 n位的叫做数列的第n项.
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数列的概念
数列的一般形式可以写成
a1 , a2 , a3 , ..., an , ... 简记为{an }
数列与数集这两个概念有什么样联系?
⑴数列与数集都是具有某种共同属性的 数的全体;
⑵数列中的数有序,而数集中的数无序;
⑶数列中的数可重复,而数集中的数不 能重复.
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数列的概念
? 有穷数列与无穷数列; ? 单调递增数列、单调递减数列、常数列与
摆动数列; ? 有界数列与无界数列; ? 周期数列与非周期数列.
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数列的概念
1.数列单调性:若数列{ an }恒满足 an ? an?1 ,则称此 数列为单调递增数列;若数列{ an }恒满足 an ? , an?1 则称此数列为单调递减数列;若数列{ an }恒满足 an ? an?1,则称此数列为常数列. 2.数列的周期性:已知 k 是一个正整数常数,若数 列{ an }恒满足 an?k ? an ,则称此数列为以 k 为周期的周 期数列.
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数列的概念
3.有界数列: (1)若存在常数 M,恒有 an ? M (等号可以取不到), 则称数列{ an }为有界数列,并称 M 为数列{ an }的一 个上界。显然数列{ an }为有一个上界,则必有无数 个上界。 (2)若存在常数 N ,恒有 an ? N(等号可以取不到), 则称数列{ an }为有界数列,并称 N 为数列{ an }的一 个下界。显然数列{ an }为有一个下界,则必有无数 个下界。 (3)若存在常数 M 和常数 N ,恒有 N ? an ? M (等号 可以取不到),则称数列{ an }为有界数列。
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数列的概念
4.数列的子数列:从数列{ an }中按原有的从小到大 的次序依次抽出部分项构成的新数列,称为原数列 的子数列。 如 数 列 a2 , a4 , a6 , 就 是 数 列 a1, a2, a3, a4, a5, a6, 的 一 个 子数列.数列{ an }偶数项形成的子数列为{ a2n },数列 { an }奇数项形成的子数列为{ a2n?1 }。
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数列的概念
数列与函数

图中表示堆放的 钢管,共有7层,自 上而下的钢管数 分别为:

层 第1层 第2层 第3层 第4层 第5层 第6层 第7层 钢管数 4 5 6 7 8 9 10
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7 6 5 4 3 2 1

数列的概念
钢管数组成的数列:
第 第第第 第 第 第 项 项项项 项 项 项
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 通项公式
an =_n_+_3___ n ∈{1,2,3,4,5,6,7}
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数列的概念
数列中的数和它的序号是什么关系? 哪个是变动的量,哪个是随之变动的量? 你能联想到以前学过的哪些相关内容? 定义域、值域分别是什么?
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数列的概念
an =_n_+_3___ n ∈{1,2,3,4,5,6,7}
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数 f (n)来说,
数列 an 就是这个函数 f (n) ,当自变量从小到大依
次取值时对应的一系列函数值. 注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解
决有关数列的问题.
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数列的概念

例 1.写出数列{an}的一个通项公式,使它的前 4 项分
别是下列各数:

(1)-1,1,-1,1; (2)2,5,2,5;

(3)1,4,9,16; (5)3,5,9,17; (7) 2 , 4 , 6 , 8 ;
3 15 35 63

(4)0,3,8,15; (6) 1 , ? 1 , 1 , ? 1 ;
1? 2 2?3 3? 4 4?5
(8)7,77,777,7777.

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数列的概念

(1)

an

=

(-1)n



an

=

cos





an

=

??1, n ? ??1,n ?

2k ?1,k ? 2k, k ? N*.

N*,

(2)

an

=

3 2

[1

?

(?1)n

]

?

2



an

=

?2, n ? 2k ?1,k ? N*, ??5,n ? 2k, k ? N*.

(3) an = n2 ; (5) an = 2n ?1;

(4) an = n2 ?1;

(6)

an

=

(?1)n?1 n(n ?1)

;

(7)

an

=

2n (2n)2

?1

;

(8)

an

=

7 9

(10n

? 1)

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数列的概念
例2、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形.
是一群孤 立的点 在这四个三角形中,着色三角形的个数 依次构成一个数列的前四项,请写出这个 数列的一个通项公式,并在直角坐标系中 画出它的图象. 解:an ? 3n?1 在直角坐标系中的图象见图
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数列的概念
背景资料:从一等边三角形开始进行迭代 操作,将其四等分,去掉中心的那部分,无 限重复这种操作,最终所得的极限图形就是 Sierpinski垫片。Sierpinski垫片是如此的完 美,著名的巴黎埃菲尔铁塔正是以它作为* 面图。虽然铁塔并没有把分形进行到无穷, 但是它已经体现了这项工程的精彩,即在不 损害结构强度的条件下完成了重力的转移。
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数列的概念
递推公式法 如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项
与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式 来表示, 这个公式就叫做数列的递推公式.它也是数 列的一种表示方法.
注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
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数列的概念
例3、a1数=1列, {an}a满n?足1 ?:2aann?1 ,
(1)写出数列的前四项; (2)写出满足前四项的一个通项公式。

1, 1 , 1 , 1 357

1 an ? 2n ? 1

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数列的概念

另解:

an?1

?

an 2an ?1

?1 an?1

?

2an ?1 an

?

1 an

?2

?

数列

? ? ?

1 an

??是以 ?

1 a1

? 1为首项,2为公差的

等差数列.

? 1 ? 1 ?(n ?1)d ? 2n ?1 an a1

1

? an

?

2n

. ?1

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数列的概念
3.对于数列{ an },定义 a1 ? a2 ? ? an 为此数列的 前 n 项和,记作 Sn .
以序号 n 为横坐标,相应的前 n 项和 Sn 为 纵坐标,我们描点( n, Sn )得到一函数图象 (离散函数),就是说 Sn 关于序号 n 是函数关 系,此函数如果有解析式 Sn ? g(n) ,则称此 表达式为数列{ an }的前 n 项和公式。
请思考:若数列{ an }的前 n 项和公式为 Sn ? n2 ? 2n ,我们能否确定此数列的通项公 式?如果能,求出其通项公式。对此你有什 么一般性总结?
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数列的概念

解:a1 ? S1 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1

? an

?

?a1

? ?

Sn

? Sn?1

,(n ? 1) ,(n ? 2)

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数列的概念
例4、5.数列?an ?中, an ? n2 ? 5n ? 4 .
⑴ 18 是数列中的第几项? ⑵ n 为何值时, an 有最小值?并求最小值.
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数列的概念
解:(1)令 an ? 18 ,即 n2 ? 5n ?14 ? 0 ,又 n? N*,

?n ? 7,? 18是数列中的第 7 项。

( 2 ) 显 然 点 (n, an ) 落 在 开 口 向 上 的 抛 物 线 还能想到其
y ? x2 ? 5x ? 4 上,此抛物线对他称方轴法为吗x ??5 ,
2

所以当正整数

n

越靠*

5 2



an

就越小。

故 n ? 2,3时, an 有最小值,且 (an )min ? a2 ? a3 ? ?2.

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数列的概念
1.在数列知识的学*中,要特别注意分析项与位置的关 系,具体问题应具体对待,不能想当然;比如 a2 是数列{an} 的第 2 项,但 a2 却是数列{a2n} 的第 1 项. 2.在数列知识的学*中,要注意渗透函数思想,结合函 数有关知识来分析项的取值范围或最值。应细心体会数 列与集合之间的差异,数列与函数之间的联系.一般我们 默认“项符号”ak 的下标 k 是一个正整数,“和符号”Sk 的 下标 k 也是一个正整数. 3.能从函数角度理解数列通项公式、前 n 项和公式的数 学意义,掌握 Sn , an 之间的关系. 4.能根据不同分类标准,对数列进行分类;
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数列的概念
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数列的概念

案例分析

2.如果一个大于1的正整数的正约数只有1和 它自己,则称此正整数为质数或素数,将 所有的素数按从小到大的顺序排列,形成 的数列称为素数列。写出素数列的前5项, 你能否写出素数列的通项公式?结合本题, 你能理解无穷数列一定有通项,但不一定 有通项公式这句话吗?

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数列的概念

自主探究

? 阅读课本P29-31,弄清并思考下列问题:
(1)结合实际问题,谈谈数列的含义?数列与 数集有什么区别?数列与函数有什么关系?
(2)什么叫数列的首项、第n项、通项?
(3)数列的一般形式是怎样的?数列的简记形 式有什么需要注意的?
(4) 什么叫数列的通项公式?结合例2,请总 结我们有哪些方法来表示一个数列?
(5)数列可以如何分类?

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