数列的概念
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数列的概念
有人说，大自然是懂数学的.你有观察过 吗，树木的分杈、花瓣的数量甚至植物种 子的排列……都遵循了某种数学的规律.你 能发现下面一列数的具体排列规律吗？
1,1，2,3,5,8,13, 21,34,55,89,
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数列的概念
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常 在沙滩上研究数学的问题，三他角们形在数沙滩上面 画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过 1，3，6，10，…
象1，4，9，16，…，被称为正方形数.
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数列的概念
按照一定的次序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数被叫做这个数列的项， 数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位 的称为这个数列的第1项， 排在第二位的被叫做数列的第二项……排在第 n位的叫做数列的第n项.
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数列的概念
数列的一般形式可以写成
a1 , a2 , a3 , ..., an , ... 简记为{an }
数列与数集这两个概念有什么样联系？
⑴数列与数集都是具有某种共同属性的 数的全体；
⑵数列中的数有序，而数集中的数无序；
⑶数列中的数可重复，而数集中的数不 能重复.
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数列的概念
? 有穷数列与无穷数列； ? 单调递增数列、单调递减数列、常数列与
摆动数列； ? 有界数列与无界数列； ? 周期数列与非周期数列.
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数列的概念
1.数列单调性：若数列{ an }恒满足 an ? an?1 ，则称此 数列为单调递增数列；若数列{ an }恒满足 an ? ， an?1 则称此数列为单调递减数列；若数列{ an }恒满足 an ? an?1，则称此数列为常数列. 2．数列的周期性：已知 k 是一个正整数常数，若数 列{ an }恒满足 an?k ? an ，则称此数列为以 k 为周期的周 期数列.
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3．有界数列： （1）若存在常数 M，恒有 an ? M （等号可以取不到）， 则称数列{ an }为有界数列,并称 M 为数列{ an }的一 个上界。显然数列{ an }为有一个上界，则必有无数 个上界。 （2）若存在常数 N ，恒有 an ? N（等号可以取不到）， 则称数列{ an }为有界数列,并称 N 为数列{ an }的一 个下界。显然数列{ an }为有一个下界，则必有无数 个下界。 （3）若存在常数 M 和常数 N ，恒有 N ? an ? M （等号 可以取不到），则称数列{ an }为有界数列。
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4.数列的子数列：从数列{ an }中按原有的从小到大 的次序依次抽出部分项构成的新数列，称为原数列 的子数列。 如 数 列 a2 , a4 , a6 , 就 是 数 列 a1, a2, a3, a4, a5, a6, 的 一 个 子数列.数列{ an }偶数项形成的子数列为{ a2n }，数列 { an }奇数项形成的子数列为{ a2n?1 }。
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数列与函数

图中表示堆放的 钢管,共有7层,自 上而下的钢管数 分别为:

层 第1层 第2层 第3层 第4层 第5层 第6层 第7层 钢管数 4 5 6 7 8 9 10
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7 6 5 4 3 2 1

数列的概念
钢管数组成的数列:
第 第第第 第 第 第 项 项项项 项 项 项
4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 通项公式
an =_n_+_3___ n ∈{1,2,3,4,5,6,7}
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数列中的数和它的序号是什么关系？ 哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？ 你能联想到以前学过的哪些相关内容？ 定义域、值域分别是什么？
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an =_n_+_3___ n ∈{1,2,3,4,5,6,7}
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数 f (n)来说,
数列 an 就是这个函数 f (n) ,当自变量从小到大依
次取值时对应的一系列函数值. 注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解
决有关数列的问题.
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例 1．写出数列{an}的一个通项公式，使它的前 4 项分
别是下列各数：

（1）-1，1，-1，1； （2）2，5，2，5；

（3）1，4，9，16； （5）3，5，9，17； （7） 2 , 4 , 6 , 8 ；
3 15 35 63

（4）0，3，8，15； （6） 1 , ? 1 , 1 , ? 1 ；
1? 2 2?3 3? 4 4?5
（8）7，77，777，7777.

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(1)

an

=

(-1)n

或

an

=

cos

nπ

或

an

=

??1, n ? ??1，n ?

2k ?1，k ? 2k, k ? N*.

N*,

(2)

an

=

3 2

[1

?

(?1)n

]

?

2

或

an

=

?2, n ? 2k ?1，k ? N*, ??5，n ? 2k, k ? N*.

(3) an = n2 ; (5) an = 2n ?1;

(4) an = n2 ?1;

(6)

an

=

(?1)n?1 n(n ?1)

;

(7)

an

=

2n (2n)2

?1

;

(8)

an

=

7 9

(10n

? 1)

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例2、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形.
是一群孤 立的点 在这四个三角形中，着色三角形的个数 依次构成一个数列的前四项，请写出这个 数列的一个通项公式，并在直角坐标系中 画出它的图象. 解：an ? 3n?1 在直角坐标系中的图象见图
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背景资料：从一等边三角形开始进行迭代 操作，将其四等分，去掉中心的那部分，无 限重复这种操作，最终所得的极限图形就是 Sierpinski垫片。Sierpinski垫片是如此的完 美，著名的巴黎埃菲尔铁塔正是以它作为* 面图。虽然铁塔并没有把分形进行到无穷， 但是它已经体现了这项工程的精彩，即在不 损害结构强度的条件下完成了重力的转移。
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递推公式法 如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项
与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式 来表示, 这个公式就叫做数列的递推公式.它也是数 列的一种表示方法.
注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
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例3、a1数=1列, {an}a满n?足1 ?：2aann?1 ,
（1）写出数列的前四项； （2）写出满足前四项的一个通项公式。

1, 1 , 1 , 1 357

1 an ? 2n ? 1

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另解：

an?1

?

an 2an ?1

?1 an?1

?

2an ?1 an

?

1 an

?2

?

数列

? ? ?

1 an

??是以 ?

1 a1

? 1为首项，2为公差的

等差数列.

? 1 ? 1 ?（n ?1)d ? 2n ?1 an a1

1

? an

?

2n

. ?1

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3.对于数列{ an },定义 a1 ? a2 ? ? an 为此数列的 前 n 项和，记作 Sn .
以序号 n 为横坐标，相应的前 n 项和 Sn 为 纵坐标，我们描点（ n, Sn ）得到一函数图象 （离散函数），就是说 Sn 关于序号 n 是函数关 系，此函数如果有解析式 Sn ? g(n) ，则称此 表达式为数列{ an }的前 n 项和公式。
请思考：若数列{ an }的前 n 项和公式为 Sn ? n2 ? 2n ，我们能否确定此数列的通项公 式？如果能，求出其通项公式。对此你有什 么一般性总结？
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解：a1 ? S1 当n ? 2时，an ? Sn ? Sn?1

? an

?

?a1

? ?

Sn

? Sn?1

，(n ? 1) ，(n ? 2)

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例4、5．数列?an ?中， an ? n2 ? 5n ? 4 .
⑴ 18 是数列中的第几项？ ⑵ n 为何值时， an 有最小值？并求最小值.
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解：（1）令 an ? 18 ，即 n2 ? 5n ?14 ? 0 ，又 n? N*，

?n ? 7，? 18是数列中的第 7 项。

（ 2 ） 显 然 点 (n, an ) 落 在 开 口 向 上 的 抛 物 线 还能想到其
y ? x2 ? 5x ? 4 上，此抛物线对他称方轴法为吗x ?？5 ，
2

所以当正整数

n

越靠*

5 2

，

an

就越小。

故 n ? 2,3时， an 有最小值，且 (an )min ? a2 ? a3 ? ?2.

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数列的概念
1．在数列知识的学*中，要特别注意分析项与位置的关 系，具体问题应具体对待，不能想当然；比如 a2 是数列{an} 的第 2 项，但 a2 却是数列{a2n} 的第 1 项. 2.在数列知识的学*中，要注意渗透函数思想，结合函 数有关知识来分析项的取值范围或最值。应细心体会数 列与集合之间的差异，数列与函数之间的联系.一般我们 默认“项符号”ak 的下标 k 是一个正整数，“和符号”Sk 的 下标 k 也是一个正整数. 3.能从函数角度理解数列通项公式、前 n 项和公式的数 学意义，掌握 Sn , an 之间的关系. 4.能根据不同分类标准，对数列进行分类；
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案例分析

2.如果一个大于1的正整数的正约数只有1和 它自己，则称此正整数为质数或素数，将 所有的素数按从小到大的顺序排列，形成 的数列称为素数列。写出素数列的前5项， 你能否写出素数列的通项公式？结合本题， 你能理解无穷数列一定有通项，但不一定 有通项公式这句话吗？

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自主探究

? 阅读课本P29-31,弄清并思考下列问题:
(1)结合实际问题，谈谈数列的含义?数列与 数集有什么区别?数列与函数有什么关系？
(2)什么叫数列的首项、第n项、通项？
(3)数列的一般形式是怎样的?数列的简记形 式有什么需要注意的?
(4) 什么叫数列的通项公式？结合例2，请总 结我们有哪些方法来表示一个数列？
(5)数列可以如何分类？

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